Comment trouver une primitive d’une division de la forme u’ / u^n ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir comment tu peux trouver une primitive d’une division de fonctions qui est sous la forme u’ / u^n.

Toujours la même idée de base…

Et là, tu vas voir que ça peut faire mal à la tête et que donc il vaut mieux être très à l’aise avec tout ce qui est calcul de base. Je vais repartir sur la même idée que pour les vidéos précédentes, c’est à dire qu’ici le u’, on l’oublie, on a 1 à la place et on divise par, à la place de u^n, x^n.

Une primitive de x^n

Là, il faut trouver une primitive de ça. Bon, déjà c’est pas complètement simple, tu sais que moi la technique que j’aime bien c’est passer en disant que ça c’est égal à x^-n parce que je pense que c’est plus simple en général de trouver ça.

Ce qu’on sait c’est que quand on dérive (x^(n+1))/(n+1), en dérivée ça donne x^n. Autrement dit, une primitive de x^n c’est (x^(n+1))/(n+1). Donc une primitive de x^-n, ça va être (x^(-n+1))/(-n+1), ça c’est le genre de choses, il est très très facile de faire des erreurs, donc il vaut mieux que tu sois très à l’aise avec tout ça.

Donc quand on va dériver ça, l’exposant passe devant, il vient se multiplier devant et il va être divisé par lui même, donc ça, ça va faire 1. Et la partie d’en haut, l’exposant lui va réduire de 1, donc on va avoir -n + 1 – 1, donc on va bien avoir -n. Donc ça, c’est bien une primitive de 1/x^n.

Une primitive de la division u’ / u^n

Donc maintenant qu’on connaît une primitive de x^-n, on va pouvoir trouver celle qui est ici, puisqu’on va utiliser comme toujours la dérivée de f(u(x)) qui nous donne toujours u'(x) * f'(u(x)). Et on va l’appliquer à la fonction qu’on a ici.

On va donc calculer la dérivée de (u(x)^(-n+1))/(-n+1). La dérivée de ça c’est u'(x) pour commencer, c’est la partie facile, u'(x) que multiplie la dérivée de cette chose-là.

La dérivée de cette chose là, qu’est ce que j’ai dit ? J’ai dit c’était x^-n ou bien 1/x^n. Donc ici, on va avoir 1/u(x)^n. Donc ça c’est bien u'(x) / u(x)^n. Autrement dit, une primitive de cette fonction-là c’est G(x) égal à cette fonction ici donc u(x)^(-n+1) divisé par -n+1.

D’autres façons de l’écrire…

Alors ça, on peut l’écrire de 50 mille façons, tu vois que ça c’est, alors u(x)^-(n – 1), donc c’est l’exposant négatif, donc ça va être divisé par cette chose-là et divisé par, eh bien là on peut faire pareil, -(n-1).

Donc ça u(x)^-(n-1) c’est 1/u(x)^(n-1). Ici, on va avoir -1/((n-1)*u(x)^(n-1)). Ce qui ressemble un peu plus à la formule, si tu as appris par cœur les formules des primitives ici, une primitive de 1/x^n c’est -1/((n-1) * x^(n-1)).

De façon générale, je t’invite toujours à te rappeler de la seule formule qui a besoin de se rappeler c’est celle de l’exposant de façon générale et d’utiliser -n comme exposant.

Une application qui pique !

Là encore, dans les faits, qu’est ce que ça va donner ? Eh bien si on prend une fonction h(x) qui va être par exemple, on va faire quelque chose de simple puisque les calculs ici ça devient vite horrible. 2x / (x^2+3)^4.

Eh bien ici, on reconnaît qu’on est dans la forme u(x)^4, donc divisé par u(x)^4 avec ici, on a bien u’, ça c’est bien u’/u^4. Donc une primitive de cette chose-là, en appliquant la formule qu’on a ici maintenant, eh bien ça va être-1/(n-1). Or n c’était 4 d’accord ? C’est ce qu’on avait reconnu.

Le n c’est l’exposant qu’on a dans la fonction dont on cherche la primitive, donc n – 1 ça va être 3.u^(n-1), alors u on a dit c’est (x^2 +3)^(n-1) lui aussi, voilà. Donc -1 / (3 (x^2+3)^3) C’est pas très fun du tout, mais c’est comme ça. Donc ça c’est aussi (-1/3) (x^2+3)^-3. Quand on va dériver cette chose-là, le -3, il décent et vient se multiplier avec -1/3, donc il s’en va. Il nous reste cette chose-là à l’exposant (-3 – 1), donc -4.

C’est bien ce qu’on attendait. Et on multiplie par la dérivée de ce qui est dans la parenthèse, donc 2x. Donc ça, c’est l’application, c’est jamais simple.

Là, la partie vraiment la plus compliquée dans celle là c’est plutôt de retrouver la primitive parce que là c’est très facile de se perdre entre les plus, les moins, les n, les divisés, les multipliés, c’est vite le bordel.

Il faut être hyper précis et hyper à l’aise. Bosse-le bien, fais la plusieurs fois, tu vas voir ça va finir par rentrer.

Voilà comment tu peux trouver une primitive d’une division de fonction qui est de la forme u’/u^n.

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