Comment trouver une primitive d’un quotient de la forme u’/√u ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir comment tu peux trouver une primitive d’un quotient de fonctions sous la forme u'(x)/√u(x).

Utilisons une primitive de 1/√x.

Donc ça appelons le g(x) comme d’hab. Et on va utiliser comme d’habitude, on remplace u’ par 1, on remplace √u par √x, et on connaît une primitive de ça.

Alors plus ou moins, en général ce que tu connais, je voulais faire ça après, c’est que la dérivée de √x c’est 1/2√x. Donc si la dérivée de √x c’est ça et que toi tu veux √x, eh bien (2√x)’, ça va être 2 * (1/2√x), et donc ça va être 1/√x, d’accord ? Donc une primitive de 1/√x c’est 2√x.

Puis sa dérivée en remplaçant x par u(x).

Donc maintenant qu’on a ça, encore une fois utiliser la dérivée d’une fonction composée qu’on connaît maintenant par cœur (f(u(x)))’ égal u’ f'(u) avec f(x) la fonction 2√x.

Donc ici, on va avoir la dérivée de 2√u(x) puisque ce qu’on veut c’est remplacer x par u’ qui va être égal à u'(x) que multiplie donc la dérivée de 2√x c’est 1/√x ça tombe bien, pris en u. Donc 1/√u(x).

D’où la primitive du quotient u’/√u

Donc ça c’est bien g(x) évidemment puisque c’est ce qu’on voulait. Donc cette chose là une primitive de g(x) c’est G(x) qui est égal à 2 √u(x).

Ici je vais assez vite, mais le but c’est que tu reprennes les étapes une à une parce que c’est en comprenant ces étapes-là que tu pourras l’appliquer quand on aura besoin dans ton contrôle.

Des exemples…

Alors, par exemple ici, qu’est ce que je pourrais prendre ? Je pourrais prendre la fonction h(x) qui est égal à e^x/√e^x. Alors e^x c’est positif, donc la racine elle est bien définie, y’a pas de problème, ça c’est vrai pour x appartenant à ℝ.

Donc là, encore une fois qu’est ce qu’on fait ? On s’aperçoit qu’il y a une fonction ici qui est la racine. On a donc racine de quelque chose, on va avoir √u avec u(x) qui est égal à e^x. ça tombe bien, u'(x) c’est e^x aussi.

Autrement dit, on a bien quelque chose de la forme u’/√u. On connaît maintenant une primitive de cette chose là, eh bien une primitive c’est une primitive de la fonction h ça va être la fonction H.

Et on a dit : une primitive u’/√u c’est 2√u, donc ici ça va faire 2√e^x. Donc 2√e^x, quand tu le dérives, tu retombes sur e^x/√ e^x. Donc c’est ça que tu dois faire, c’est découvrir ces choses là, mais encore une fois, tu vois cette division ici, tu vois qu’il y a une racine au dénominateur, donc c’est racine de quelque chose.

Ici c’est pas seulement x, mais c’est e^x. Donc tu poses u(x)=e^x et tu regardes si t’es bien de la forme u’/√u. S’il y’a un facteur ou si c’est quelque chose de proche. Et maintenant, tu as ta primitive et tu as bien ce que tu voulais.

Encore une fois, la logique qui est derrière tout ça, reprend la calmement, et tu vas voir que c’est les étapes qu’il faut que tu aies en tête pour pouvoir le faire toi même le jour du contrôle.

Voilà, c’était comme ça que tu peux trouver une primitive d’un quotient de fonctions sous la forme u’/√u.

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