Comment trouver une primitive d’une division de fonctions de la forme u’/u ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir comment tu peux trouver une primitive d’une division de fonction qui est sous la forme u’/u.

On va appeler cette fonction g(x), g(x) c’est u'(x)/u(x). Alors c’est pas toujours très évident de faire ces choses là, alors une façon de faire, c’est un peu à la main mais tu vas voir que ça marche.

L’idée toute simple qui marche à chaque fois !

Ici l’idée c’est d’oublier le u’ et de remplacer u par x. Si t’oubli le u’, en haut t’as 1 et en bas t’as x.Donc en gros ça va revenir, tu sais trouver une primitive de 1 / x.

Comme primitive de 1/x c’est ln(x), tu vas savoir qu’une primitive de u’/u, eh bien c’est ln(u), d’accord. Donc c’est très à la main mais c’est ça qu’il faut comprendre en fait !

C’est que quand tu as quelque chose qui est de la forme u’ fois quelque chose ou u’ divisé par quelque chose, t’oublies le u’, tu remplaces le u par x et tu regardes quelle est ta primitive.

Une fois que tu as ta primitive, ici ln(x), t’essaye de l’appliquer à ln(u). ln(u), quand tu vas dériver, ça va donner quoi ? C’est tu appliques (f(u(x))) qui est donc égal à u'(x) * f'(u(x)), ici f c’est la fonction ln, donc quand tu vas appliquer ça, tu vas bien avoir u’ fois la dérivé ln qui est donc 1/x pris en u(x).

Donc tu vas avoir 1/u(x) et au final, tu vas bien avoir u’ * 1/u(x), et tu retombes bien sur cette fonction-là, d’accord ?

La primitiive d’une division de la forme u’/u

Donc la dérivé de ln(u(x)) c’est u’/u, donc une primitive de u’/u c’est bien ln(u(x)). Là maintenant, ce qu’il faut savoir faire c’est dans les exercices.

Donc ça c’est juste savoir la retrouver, tu peux l’apprendre par cœur, mais ça n’a pas tellement d’intérêt, ce qui est le plus intéressant c’est de comprendre le mécanisme ici de manière à savoir le retrouver sur le moment et surtout savoir l’utiliser dans d’autres cas puisque ça c’est un cas particulier.

Un exemple d’application.

Dans les faits, qu’est ce que ça va donner ? Eh bien par exemple, tu vas avoir quelque chose de la forme, je sais pas moi, (3 x^2 + 2 x + 1) / (x^3 + x^2 + x). Donc t’as cette fonction là qui est définie là et tu dois trouver une primitive de cette fonction.

Mais qu’est ce que tu reconnais ? Tu reconnais qu’en fait ici, tu as x^3, ici tu as 3 x^2, ça tombe bien, c’est la dérivé, 2x par rapport à x^2 c’est les dérivés, tout ça c’est les dérivés.

Autrement dit, tu es bien de la forme u'(x)/u(x), où u(x) c’est x^3 + x^2 + x. Dans ces cas-là, une primitive de cette fonction là, ça va être ln(u(x)), u(x) ici c’est ce qu’on a au dénominateur, donc c’est x^3 + x^2 + x.

Il faut faire attention parce qu’il faut que tout ça soit positif ! Par exemple si on prend ici que c’est défini pour x positif, ça fonctionne très bien. Puisque la primitive de cette chose-là c’est ln(u(x)), il faut que u(x) soit positif ici. Sinon ça ne fonctionne pas puisque le ln est définie que pour les x positifs !

Voilà comment tu peux trouver une primitive d’une division de fonctions sous la forme u’/u.

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