Comment trouver une primitive d’un quotient de fonctions de la forme u’/u^2 ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir comment tu peux trouver une primitive d’un quotient de fonctions de la forme u’/u^2. Donc quand j’écris ça, c’est la même chose que u'(x) / u^2(x) ou u'(x) / u(x)^2, c’est la même chose.

Toujours la même technique !

Appelons cette fonction g(x) et si on fait comme dans la vidéo précédente… C’est à dire qu’on essaie de comprendre d’où sort cette chose là, on a dit on oublie un petit peu u’, donc on va avoir 1 et en bas, on remplace u par x, donc 1/x^2.

Alors 1/x^2 normalement tu connais une primitive de cette chose là, c’est -1/x. Donc si tu sais ça, encore une fois la seule chose qui reste à faire c’est d’utiliser cette primitive là et utiliser la composé de fonctions, donc la dérivée d’une composé de fonctions.

C’est à dire (f(u(x)))’ c’est u'(x) * f'(u(x)). Je répète cette formule à chaque fois parce que c’est vraiment la formule qu’il faut que tu aies en tête ! C’est celle qui va te permettre de faire tous à peu près, toutes les primitives un peu complexes ou toutes les dérivées un peu complexes d’ailleurs, vont venir de cette formule-là.

Retrouver la primitive du quotient u’/u^2

Donc maintenant, si tu fais -1/u(x) et que tu dérives, qu’est-ce que tu obtiens ? Ici c’est comme si tu avais la fonction f(x) égal à -1/x, donc f(u(x)) égal à -1/u(x), u’ ça reste u’.

Or f’, la dérivée de -1/x, on a dit puisque là c’était une primitive, la dérivée c’est dans ce sens là, la dérivée c’est 1/x^2. Donc 1/x^2 mais pris en u(x), donc tu as bien 1/(u(x))^2.

Et donc ça, ça donne bien g(x), autrement dit une primitive de cette fonction g ici c’est G(x) égal à -1/u(x). -1/u(x) eh bien – quand tu dérives, tu vas obtenir u’/u^2.

Un exemple : h(x)= 1/(x*ln(x)^2) !

Encore une fois, ce qui est important c’est de savoir le faire dans les faits. Eh bien par exemple ici, on va prendre une fonction un petit peu complexe, on va h(x)= 1/(x*ln(x)^2).

Donc là, c’est pas facile à voir parce qu’on a tous qui est au dénominateur. La chose importante ici c’est que le carré, il est là, il est sur ln(x), ça c’est la même chose que 1/x * 1/(ln x)^2. Là, c’est petit peu plus clair à voir, ça c’est pas un exemple facile, c’est volontaire.

Ici, si tu me poses u(x) = ln(x), cette dérivée, ça c’est bien u'(x). Donc tu es bien de la forme u’ * (1/u^2), ça c’est de la forme u’ * (1/u^2), qui est donc u’/u^2.

Aparté

Alors là, il faut être à l’aise avec tout, avec les fractions, avec toutes les choses basiques, tous les calculs de bases, mais bon ça tu sais bien que j’insiste tout le temps sur ça, maîtriser les bases c’est important !

Donc tu es bien de la forme u’/u^2 avec u(x)=ln(x). Donc là encore, il faut que x soit positif pour que ça a un sens sinon ça n’a pas de sens. Et donc d’après ce qu’on a écrit ici, une primitive c’est -1/u(x), donc ici H(x), eh bien ça va être -1/ln(x).

C’est pas complètement facile, volontairement, parce que c’est pour te montrer que la chose importante c’est pas seulement de se rappeler de la forme de la primitive, c’est surtout savoir voir la forme de la fonction que tu as pour laquelle tu dois trouver une primitive !

Donc ici si on dérive -1/ln(x), ça va nous donner la dérivée de ln(x), donc 1/x. Le tout multiplié par la dérivée de 1/x pris en ln(x). Donc ça, ça va nous donner 1/ln^2. Donc on va bien avoir 1/x / (ln x)^2, et ça c’est 1 / (x * ln (x)^2).

Voilà comment tu peux trouver une primitive d’une division de fonctions qui est sous la forme u’/u^2.

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