Comment trouver une primitive de 1/x^n (1 sur x exposant n) ?

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Retranscription

Dans cette vidéo je vais te montrer comment trouver une primitive de 1/x^n. Ici on va avoir la fonction f(x)=1/x^n. Et on veut trouver une primitive. Autrement dit, on veut trouver un F(x) qui quand on le dérive, donne 1/x^n.

Remplacer la division par un exposant négatif.

Alors il y a toujours un truc embêtant avec les uns sur les exposants c’est que moi je n’aime pas les voir comme ça. Donc il vaut mieux les voir sous la forme x^-n parce que ça c’est quelque chose qu’on ait n ou -n à l’exposant c’est la même chose.

On connaît les dérivées et de la même façon que pour les dérivées de 1/x^n, on utilisait cette forme là, on va faire pareil ici. Donc qu’est ce qu’on sait ?

Retrouver une primitive de 1/x^n via x^(-n)

On sait que (x^-n)’ ça donne quoi ? Ça donne -n x^(-n-1), ce qui ne va pas ici encore une fois ce qu’on cherche c’est de retrouver la dérivée de cette chose-là.

Donc on y est presque sauf que ici on voit qu’il ya un petit problème avec le… il y a un -1 en trop, donc on veut ici avoir quelque chose en +1. Alors là il faut faire attention c’est pas tout à fait simple…

Mais si on prend x^-(n-1) et qu’on dérive, on va bien avoir -(n-1) et ici on va voir x^(-(n-1)-1). Là il faut faire un peu attention, ici ça fait moins -n, quand on développe, +1-1. Donc là on fait bien disparaître et ça, ça fait bien -(n-1) x^-n.

Alors on n’est plus du tout loin de ce qui nous intéresse parce que il y a juste cette chose là devant ! Mais ça ici ça dépend pas de x donc c’est juste un facteur, on a multiplié par -(n-1). Et ce qui nous intéresse c’est à dire le x^-n, eh bien on l’a retrouvé ici.

Du coup, il va suffire de multiplier par l’inverse de cette chose là pour faire disparaître ce terme là, et obtenir ce qu’on veut. Donc ce qui veut dire quoi ?

Au final…

Ça veut dire que si on fait 1/-(n-1) que multiplie la forme qu’on a vu ici x^-(n-1), et qu’on dérive tout ça, ça devrait fonctionner. Ici égal 1/-(n-1) que multiplie, on a dit ce terme ici encadré en vert, donc (-(n-1)) que multiplie x^-n.

Ces deux choses là c’est la même chose donc on peut simplifier, il nous reste x^-n. On pourrait l’écrire de plein de façons ici hein, mais le moins on peut le faire passer sur le 1 par exemple, ça va faire – 1/n-1. Et ici il va nous rester 1/x^(n-1).

Quand on fait ça, on a une forme donc F(x), si on prend F(x) = -1/((n-1) x^(n-1)) c’est une primitive de 1/x^n.

Tu dois être à l’aise avec les calculs !

Alors tu vois que ça fait des calculs tout de suite qui ne sont pas très drôles, qui sont moins faciles qu’avec les dérivées…

Mais c’est normal puisque on réfléchit tout à l’envers ! Pour autant c’est que des calculs simples, des calculs de collège et sur lesquelles il faut que tu sois vraiment à l’aise.

Si tu as besoin d’être à l’aise sur ce genre de choses, je te conseille de lire la description, tu trouveras de quoi t’aider.

Constante et facteur…

Encore une fois ici c’est des primitives, donc ici on pourrait rajouter une constante et ça changerait absolument rien. À partir du moment où on met une constante en plus, eh bien c’est toujours une primitive. Donc on a un ensemble de primitives de la fonction 1/x^n.

Voilà, là ce qu’il faut que tu comprennes encore une fois c’est comment on réfléchit à l’envers ici. Dès qu’on a du 1 sur x exposant quelque chose, on passe à l’exposant négatif, c’est plus simple.

Ensuite on se rappelle ce qu’on sait sur les dérivées, on cherche à peu près, on adapte l’exposant qui va bien. Puis on travaille sur la constante qui a devant qu’on vient multiplier par l’inverse de la constante pour le faire disparaître.

Et tu vois qu’il serait très simple ici si tu avais non pas x^n mais 4 x^n, eh bien il suffirait de multiplier par 4 ce terme là et ça serait finie. Au final, tu aurais la même chose. Donc voilà comment retrouver une primitive de 1/x^n.

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