Comment trouver une primitive d’une somme ou soustraction de fonctions ? (u+v ou u-v)

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Retranscription

Dans cette vidéo, je vais te montrer comment trouver une primitive d’une somme de fonctions ou d’une soustraction de fonctions puisque c’est la même chose.

Si on a une fonction f(x) qui est de la forme u(x) + v(x), comment est ce qu’on va trouver une primitive ? C’est à dire on cherche un grand F(x) qui dérivé, va donner u(x) + v(x). Qu’est ce qu’on sait ?

De la dérivée à la primitive d’une somme (ou soustraction) de fonctions

On sait que la dérivée de la somme de deux fonctions, par exemple (g + h)’ c’est bien g’ + h’ !

Donc si ça c’est vrai, tu vois qu’ici on a deux fonctions, donc en fait il suffit de trouver une primitive de u et une primitive de v. Si on a U primitive de u, et V primitive de v, on obtient bien U’ +V’ et ça c’est bien égal à u+v.

Autrement dit pour trouver une primitive d’une somme de fonctions, il suffit de trouver une primitive de chacun des termes, et ça sera la somme de ces deux termes.

Et si c’est une soustraction ?

C’est exactement la même chose si on a une soustraction ici ! Tu vois qu’on peut tout faire avec une soustraction, ça changera rien du tout. Je vais faire ça sur un exemple pour que ce soit plus clair.

Un exemple :

Si on prend f(x) égal par exemple on a dit 1/√ x plus par exemple 2 x^2. Et on cherche une primitive de cette chose là. Qu’est ce qu’on fait? On a deux primitives à chercher en fait.

On va chercher la primitive de celui ci et la primitive de celui là. Si tu reviens sur les vidéos d’avant, ça c’est 2√ x, c’est la primitive. Et ici on veut faire la primitive de cette chose là, on voit qu’on a du x^2, donc sa primitive ça va être du x^3…. Mais quand on dérive x^3, il ya un 3 qui apparaît en plus.

Donc maintenant qu’on veut 2, eh bien on va avoir 2 et on va avoir sur 3.Je te laisse vérifier tout ça. Maintenant ça te dit quoi ? Ça te dit que F(x) une primitive de petit f et bien c’est simplement la somme des deux primitives ici.

On a une primitive de 1/√x qui est 2 √ x, et une primitive de 2 x^2 qui est 2/3 x^3. Et donc ça c’est une primitive de f(x) ici. D’accord ?

Donc pour trouver la primitive d’une somme de fonctions, eh bien tu trouves les primitives des deux fonctions et tu refais la somme ensuite !

Ici on avait une somme, c’est une somme qu’on retrouve ici, si on avait eu une soustraction,  on aurait retrouvé une soustraction ici, c’est aussi simple que ça.

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