Comment trouver une primitive de x exposant n (ou x^n) ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, je vais te montrer comment trouver une primitive de la fonction x^n, x exposant n.

Ici ce qui nous intéresse c’est f(x) = x^n. Et on veut retrouver une primitive de cette fonction. Autrement dit on veut trouver F(x), une autre fonction, qui quand on la dérive, nous donne x exposant n.

Toujours démarrer avec les dérivées….

Donc c’est ça qu’on cherche, c’est ce F(x). Alors là encore une fois on se ramène aux dérivées. Qu’est ce qu’on sait sur les dérivées ? Il y a une dérivée qu’il faut connaître… Et qu’on connaît normalement bien c’est que la dérivée de x^n, dont la dérivée est n x^(n-1).

Là, on n’est pas tout à fait à ce qu’on veut parce que nous on veut x^n. Si on a ça déjà ça nous dit quoi ? ça nous dit que x^(n+1) quand on le dérive, à la place de n ici on va avoir n+1. Et ici on va avoir x^n puisqu’on va avoir n+1-1.

Une primitive de x exposant n.

Là on est mieux parce que déjà on a ce x^n qu’on cherche ! Il y a juste une constante qui nous embête. Alors ici une constante c’est pas grave puisqu’on sait que quand on va multiplier la fonction…

Si par exemple je multiplie par k, eh bien la dérivée c’est simplement k fois cette chose-là. Donc ici on va juste avoir *k, de la même façon. Maintenant si on choisit bien k, on voit qu’ils va juste nous rester x^n. Puisqu’ici on a n+ 1*x^n.

Si on prend k égal 1/(n+1), c’est comme si on divisait tout ça par n+1, et donc on va obtenir ce qui nous intéresse. Autrement dit, si on prend (1/(n+1)) * x^(n+1) et qu’on dérive ça, qu’est-ce que ça fait?

Ça fait 1/(n+1), on a dit, la multiplication ici, elle va juste simplement multiplier la dérivée de cette chose-là. Or la dérivée de cette chose là c’est quoi ?

C’est (n+1)x et puis en diminue d’un degré puisqu’on fait n+1-1. x^n. eh bien ça, ça donne bien x^n. Et donc ici une primitive de x^n et bien c’est F(x) = 1/(n+1) x^(n+1) est une primitive de f(x) =x^n.

Qu’est ce qui est intéressant ici ?

C’est pas seulement x^n parce qu’en fait tu pourras avoir n’importe quel facteur devant. Tu vois quand il suffirait de multiplier, ici on avait 2 x^n, bah on multiplierait par 2 ici dans notre fonction.

Tu vois qu’ici si on a 2 x^n, il suffit de multiplier par 2 ici. À partir du moment où c’est juste une multiplication ou une division par une constante on peut faire ça tout simplement.

Ce qui est intéressant ici c’est comment est-ce qu’on réfléchit !

C’est à dire qu’on regarde ce qu’on veut obtenir et qu’est ce qu’on connaît qui ressemble à ça dans les dérivées. Celle qu’on connaît c’est celle-ci. Le problème c’est l’exposant qui ne nous va pas bien, bon ben on manipule l’exposant de départ fois qu’on a dérivé.

Ensuite il y a un petit facteur qui nous embête, on va multiplier par la division, enfin par l’inverse de ce facteur. De manière à le faire disparaître. Donc c’est ça qu’on veut faire.

Et comme toujours, attention, avec les primitives ici, on pourrait avoir une constante. Ça c’est une primitive, mais en fait l’ensemble des primitives c’est simplement, rajouter ici une constante.

Toutes les fonctions de la forme (1/(n+1)) x^(n+1) plus une constante sont des primitives de x^n. Puisque comme toujours quand on va dériver, la constante elle va disparaître.

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