Que représente le discriminant Delta ∆ pour un polynôme du 2nd degré ?

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Retranscription

​Alors dans cette vidéo on va voir ce que représente le discriminant delta pour un polynôme de degré 2. Quand on a un polynôme de degré 2 sous la forme ax^2 + bx + c, on a vu qu’on pouvait utiliser quelque chose, ça va être ∆ qui s’écrit b^2 – 4 ac.

Que représente le discriminant ∆ d’un polynôme du second degré ?

Mais aussi : Pourquoi est ce qu’il est utile et pourquoi est-ce qu’on l’utilise pour décider combien on a de racines à l’équation ax^2 + bx + c = 0 ?

Ce qu’on a vu c’est la formule qui donne l’extrémum, la valeur minimale ou maximale dans les vidéos précédentes. Et que le minimum ou le maximum dépend des valeurs de a, mais il a toujours la même forme : -(b^2-4ac)/4a.

Regardons avec un dessin le cas a > 0 :

Alors si je trace ça dans un repère pour avoir une idée de ce qui se passe ici, d’accord ? On va faire une première parabole qui va être, voilà, a positif. Ça c’est une parabole avec a positif.

Le minimum il est atteint ici on va dire à peu près. Donc on sait qu’ici on a l’abscisse -b/2a. Et maintenant on connaît aussi la valeur en y ici, elle vaut  -∆/4a.

Cas ∆>0

Donc ça nous permet de positionner la parabole. On est là, et on voit que cette chose-là est négative, d’accord ? Sauf que puisque 4a est positif, ça veut dire que -∆ est négatif, et donc ça veut dire que delta est positif ici.

On voit donc que si ∆ est positif dans ce cas ici, il y a bien deux solutions à l’équation égal à zéro. C’est ces deux solutions là.

Cas ∆=0

Maintenant on a un autre cas qui est le cas où la parabole eh bien elle vient toucher une seule fois, par exemple comme ça. Donc là cette fois ci, eh bien qu’est ce que ça dit ?

Ça dit que -∆/4a = 0. 4a étant strictement positif, ça veut dire que delta égal zéro ici. Donc on voit que pour ∆ = 0, on a qu’une seule solution à l’équation égale à zéro.

Cas ∆<0

Et maintenant, le dernier cas c’est le cas de la parabole qui est au dessus. Le minimum il est ici donc ça ça nous dit que -∆/4a qui est la valeur du minimum est positive ici puisqu’on est sur les y positives. Ce qui nous donne, puisque 4a est positive et que -∆ est positif, et donc ∆ est négatif.

Donc on voit que dans le cas où ∆ est négatif, on n’a pas de solution à l’équation ax^2 + bx + c =0.

Conclusion…

Donc en fait ∆, le discriminant du polynôme de degré 2, nous permet de définir en gros si on est au dessus ou en dessous de l’axe. Autrement dit, si le minimum est au dessus ou en dessous de l’axe des abscisses.

Grâce à ∆, on va pouvoir savoir s’il ya 0, une ou deux solutions à l’équation ax^2 + bx + c = 0.

Et le cas a < 0 ?

Donc là j’ai fait le cas a positif, on peut faire le cas a négatif. Donc si on fait le cas a négatif, on va avoir exactement la même idée. Ici on prend a négatif, donc la parabole, elle ressemble à ça. Et le maximum il est atteint ici, la valeur c’est toujours la même c’est -∆/4a.

Attention ici on est positif, donc -∆/4a est positif, a étant négatif, si on multiplie par 4a, on change de signe. Donc ça veut dire que – ∆  est négatif et donc delta est positif. Donc dans le cas ∆ positif, on va encore avoir deux solutions, ok ?

On peut faire la même chose, je passe le cas égal à zéro, maintenant on peut faire le cas où on est sous les valeurs ici donc ça nous dit quoi ? Ça nous dit -∆/4a est négatif. Donc -∆ est positif, et donc ∆ est négatif. Donc dans le cas où ∆ est négatif, on voit qu’on n’a pas de solution à l’équation ax^2 + bx + c = 0.

Et donc on voit que c’est la même chose en fait ici. Ici on avait bien deux solutions à l’équation quand ∆ était positif, c’est le cas ici aussi, et on a zéro solution à l’équation quand delta est plus petit que 0.

Même chose ici, ici ∆ est négatif, on n’a pas de solution. Donc ∆ il est directement lié à la valeur du minimum ou du maximum de notre polynôme ! Et donc ça nous permet de savoir si on va voir des solutions pas de solutions à l’équation ax^2 + bx + c = 0.

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