Dans cette vidéo je t'explique ce que représente le discriminant Delta ∆ pour un polynôme du 2nd degré.

Transcription de la vidéo

​Alors dans cette vidéo on va voir ce que représente le discriminant delta pour un polynôme de degré 2. Donc ici on a l'habitude quand on a un polynôme de degré 2 sous la forme ax^2 + bx + c, on a l'habitude, on a vu qu'on pouvait utiliser quelque chose, ça va être ∆ qui s'écrit b^2 - 4 ac. Qu'est ce qui représente ce ∆ ?
Pourquoi est ce qu'il est utile et pourquoi est-ce qu'on l'utilise pour décider
combien on a de racine à l'équation ax^2 + bx + c = 0 ?

Eh bien ce qu'on a vu c'est que la formule qui donne l'extrêmum, la
valeur minimale ou maximale dans les vidéos précédentes, le minimum ou le
maximum ça dépend des valeurs de a vaut, il a toujours la même forme, et il vaut -(b^2 - 4ac) / 4a. Alors si je trace ça dans un repère pour avoir une idée de ce qui se passe ici, d'accord ? On va faire une première parabole qui va être, voilà, a positif, d'accord ? ça c'est une parabole avec a positif. Le minimum il est atteint ici on va dire à peu près, donc on sait qu'ici on a -b/2a.

Et maintenant on connaît aussi la valeur, donc ça c'est la valeur x ici, et puis la valeur en y ici, elle vaut moins, alors je l'écris directement, c'est -∆/4a. Donc ça nous
permet de positionner la parabole. Donc ici on est là, et on voit que cette
chose là est négative, d'accord ? Sauf que puisque 4a est positif, ça veut
dire que -∆ est négatif, et donc ça veut dire que delta est positif ici.

Donc on voit que si ∆ est positif dans ce cas ici, il y a bien deux solutions à
l'équation égal à zéro, c'est ces deux solutions là. Maintenant on a un
autre cas qui est le cas où la parabole eh bien elle vient toucher une seule fois, par exemple comme ça. Donc là cette fois ci, eh bien qu'est ce que ça dit ? ça dit que -∆/4a = 0. 4a étant strictement positif, ça veut dire que delta égal zéro ici. Donc on voit que pour ∆ = 0, on a qu'une seule solution égale à zéro.

Et maintenant, le dernier cas c'est le cas de la parabole qui est au dessus, le minimum il est ici donc ça ça nous dit que -∆/4a qui est la valeur du minimum est positive ici puisqu'on est sur les y positives, ce qui nous donne, puisque 4a est positive et que -∆ est positif, et donc ∆ est négatif. Donc on voit que dans le cas où ∆ est négatif, on n'a pas de solution à l'équation ax^2 + bx + c est positif. Donc en fait ∆, il nous
permet de définir en gros si on est au dessus ou en dessous de l'axe, si le minimum est au dessus ou en dessous de l'axe des abscisses.

Et donc grâce à ∆, on va pouvoir savoir s'il ya 0, une ou deux solutions à l'équation ax^2 + bx + c = 0. Donc là j'ai fait le cas a positif, on peut faire le cas a négatif. Donc si on fait le cas a négatif, on va avoir exactement la même idée, ici on prend a négatif,
donc la parabole, elle ressemble à ça, le minimum il est atteint ici, la valeur ici
c'est toujours la même c'est -∆/4a. Attention ici on est positif, donc -∆/4a est positif, a étant négatif, si on multiplie par 4a, on change de signe. Donc ça veut dire que - ∆ est
négatif et donc delta est positif.

Donc dans le cas ∆ positif, on va encore avoir deux solutions, ok ? On peut faire la même chose, je passe le cas égal à zéro, maintenant on peut faire le cas où on est sous les valeurs ici donc ça nous dit quoi ? ça nous dit -∆/4a est négatif. Donc -∆ est positif,
et donc ∆ est négatif. Donc dans le cas où ∆ est négatif, on voit qu'on n'a pas de solution à l'équation ax^2 + bx + c = 0. Et donc on voit que c'est la même chose en fait ici. Ici on avait bien deux solutions à l'équation quand ∆ était positif, c'est le cas ici aussi, et on a zéro solution à l'équation quand delta est plus petit que 0.

Même chose ici, ici ∆ est négatif, on n'a pas de solution. Donc ∆ il est directement liée à la valeur du minimum ou du maximum de notre polynôme, et donc ça nous permet de savoir si on va voir des solutions pas de solutions à l'équation ax^2 + bx + c = 0.

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