Que vaut la limite d’une division de fonctions ? lim f/g

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir ce que vaut la limite d’une division de fonctions. Donc on va s’intéresser à la limite de f(x) / g(x).

La limite d’une division de fonctions ?

Encore une fois, x tend vers a ou bien x tend vers plus ou moins l’infini, ça ne change rien. Donc là, on va passer rapidement, il n’y a pas de raison que ce soit différent du reste. Ici limite de f / g, eh bien c’est lim f / lim g.

Toujours la même chose, il va y avoir des formes indéterminées ! Mais en fait y a pas besoin vraiment de les apprendre, il suffit de comprendre vraiment ce qui se passe, ça sera beaucoup plus efficace.

Si les limites sont finies…

Regarde, si la limite de f c’est une certaine valeur, la limite de g c’est une certaine valeur d, eh bien l’une sur l’autre ça fait c/d, aucun problème.

Maintenant, aucun problème sauf si d c’est 0, si la limite de g c’est zéro ! Et que la limite de f c’est un réel, tu vois qu’il va avoir un réel divisé par 0, ça ça pose un problème.

Et donc il va falloir réfléchir un peu. Il faut réfléchir mais t’es en gros, entrain d’avoir une valeur fixée que tu divises par quelque chose de très petit.

Alors on sait que quand on divise par quelque chose de très petit, c’est comme si on multipliait par quelque chose de très grand. Donc ça, ça va tendre vers l’infini. Et puis ensuite, il y aura un signe plus ou moins l’infini suivant vers où tu regardes.

Et on verra ça dans une autre vidéo. Donc ça, c’est pas une forme indéterminée, si tu vas pouvoir calculer sa limite.

Si les limites sont zéro…

Maintenant, si la limite de f tend vers zéro et la limite de g tend vers 0. Là par contre c’est une forme indéterminée ! Parce que là c’est pas comme si tu avais un truc fixe divisé par un tout petit truc.

C’est deux petits trucs qui se divisent l’un et l’autre. Donc ça, ça dépend vraiment des fonctions que t’es entrain de regarder. La première forme indéterminée c’est 0/0, si f tend vers 0 et g tend vers 0.

La limite du quotient, eh bien tu le connais pas. Ça tu peux pas le définir facilement, il va falloir travailler.

Si les limites sont infinies…

Idem si par exemple la limite ici tend vers plus ou moins l’infini et celle d’en bas, elle tend aussi vers plus ou moins l’infini. Donc l’infini sur l’infini, on sait pas ce que ça vaut, ça va dépendre des fonctions !

Si les limites sont 0 et ∞…

Maintenant, le dernier cas que tu dois retenir c’est que si en haut t’as plus ou moins l’infini et que tu divises par 0. Eh bien ça c’est pas un problème !

C’est pas une forme indéterminée : Tu as quelque chose qui tend vers quelque chose de très très grand et tu le divises par quelque chose de très très petit. Donc si tu divises par quelque chose de très petit c’est comme si tu multipliais par quelque chose de très très grand.

Autrement dit, quelque chose de très grand divisé par quelque chose de très petit… C’est comme si tu avais quelque chose de très grand fois quelque chose de très grand. Eh bien ça reste très grand, et le signe va dépendre de comment tendent les choses.

Idem à l’envers, si t’as zéro en haut et que tu divises par plus l’infini. Tu vois que tu divises quelque chose de très petit par quelque chose de très grand, eh bien ça tend vers zéro toujours.

Ce que tu dois comprendre :

Ce qu’il faut que tu comprennes bien c’est ce qui se passe vraiment ! Tendre vers zéro ce que ça veut dire, tendre vers plus l’infini ce que ça veut dire. Et puis ensuite, regarder ce qu’il se passe quand tu as une division de quelque chose de très grand par quelque chose de très petit ou inversement.

Donc les seules formes indéterminées ici c’est 0/0 ou l’infini sur l’infini. Je t’invite d’ailleurs à regarder, il y a un article sur le site dans lequel je parle des limites ça pourrait vraiment t’aider à compléter toutes ces petites vidéos.

Voilà, quand tu veux calculer la limite de f(x) /g(x) c’est directement lim f / lim g. Et tu dois juste faire attention à deux formes indéterminées c’est quand la limite de f et de g sont 0 ou sont l’infini.

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