Pourquoi i au carré égal -1, i^2 = -1 ?

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Retranscription

Alors dans cette vidéo on va voir pourquoi i au carré égal -1, i.e. i^2 = -1. On nous dit ça au départ, mais on se demande pourquoi !

Eh bien je vais te montrer pourquoi, et la réponse elle est assez simple finalement quand on comprend ce que c’est i.

Comprendre par le dessin ?

On a dit, on prend ici, ici on a les réels et ici on a les imaginaires. Donc ici on a 1, ici on a i et ici on a l’origine. Donc i c’est quoi ?

i c’est un nombre complexe de module 1, alors je l’écris comme ça module de i c’est 1 et l’argument de i eh bien c’est π/2 ici. Qu’est ce que ça nous dit ?

Comprendre pourquoi i carré égal -1 grâce à la forme exponentielle !

Ça nous dit que i ça s’écrit 1 * e^(iπ /2). Rien de magique ici, donc ça c’est e^(iπ /2). Et donc maintenant pour quelle raison, quand on le met au carré, ça fonctionne ?

Eh bien i^2 c’est quoi donc ? C’est (e^(iπ /2))^2, ça j’ai dit dans la vidéo précédente ! Eh bien c’est la multiplication de π /2 par deux.

Donc ici ça va faire e^(i2π /2). Donc ça c’est e^iπ, ok ? e^iπ, son module ici puisque c’est déjà sous forme exponentielle, c’est quelque chose qui est de module 1.

Autrement dir, module de i^2 c’est bien 1, argument de i^2 c’est π, d’accord ? Donc ça nous dit quoi ? Ça nous dit que i^2, ça s’écrit cos(π) + i sin(π) et on regarde qu’est ce que ça vaut ça ?

cos(π), on est bien de l’autre coté, π c’est cet angle ici, donc le cosinus vaut -1. sinus de π, sin(π) ça vaut 0, donc ça fait bien -1 ! Et donc on a montré que i^2 est égal à -1.

Tu vois ici pourquoi c’est une façon de montrer que i au carré est égal à -1. C’est là tout l’intérêt d’utiliser les complexes !

C’est qu’ici on est sur quelque chose d’algébrique, i c’est une valeur algébrique… Mais dès qu’on le passe sous la forme exponentielle, c’est à dire qu’on ramène ça de la la géométrie, on arrive à montrer que son carré, eh bien ça vaut -1.

Donc tu vois qu’on peut faire des choses extrêmement liées entre la géométrie et le calcul grâce aux nombres complexes. Et ça c’est très intéressant.

Voilà, c’était juste un petit exemple pour te montrer pourquoi i au carré égal -1.

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