Comment trouver le minimum d’un polynôme de degré 2 ?

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Retranscription

Dans cette vidéo on va voir comment trouver le minimum d’un polynôme de degré 2. Alors un polynôme de degré 2, ça s’écrit ax^2 + bx + c. Ça va on va l’appeler f par exemple, f(x) égal ça. Et si on va chercher le minimum !

On sait que le polynôme, il a cette tête là, autrement dit que a est positif, d’accord ? Donc on sait que a est positif et on veut trouver le minimum.

Rappel sur l’abscisse du minimum.

Pour faire ça, on sait d’après la vidéo précédente, que le minimum est atteint en – b/2a. D’accord ? On sait cette chose-là. Maintenant – b/2a c’est une abscisse, d’accord ? C’est x=b/2a. Donc il n’y a plus qu’à remplacer x=-b/2a là dedans pour obtenir la valeur du minimum.

Calcul du minimum d’un polynôme de degré 2.

Donc allons-y, le calcul il n’est pas très compliqué, on va faire f(-b/2a) c’est égal à quoi ? C’est égal à a*(- b/2a)^2 + b*(-b/2a) + c. Donc là c’est égal à quoi ? (- b/2a)^2, donc ça fait (-b)^2 ça, ça fait b^2 divisé par (2a)^2, ça fait 4a^2.

Ici on a a*(b^2/4a^2) +b*(- b/2a), donc on multiplie la fraction, il y a que les deux numérateurs qui se multiplient ici, ça va faire (-b^2/2a) + c, d’accord ?

On continue un petit peu ici, on peut simplifier le a avec le carré. Puisqu’on a quatre fois fois, et puis si on a *a, donc il nous reste b^2/4a – b^2/2a + c.

Maintenant on met au même dénominateur pour pouvoir travailler, d’accord ? Donc ici on a b^2/4a moins, pour avoir 4a ici il faut multiplier par 2 en haut et en bas. -2b^2/4a. Et ici il faut multiplier par 4ac/4a.

Et hop, on retombe sur Delta !

Maintenant on met tout ça au même dénominateur, on obtient b^2 – 2b^2, ça, ça fait (-b^2 +4ac)/4a. Donc là, si tu as déjà vu les polynômes de degré 2, il y a quelque chose qui doit te sauter un peu aux yeux, c’est que qu’est ce qu’on obtient ici ?

Ouais, – (b^2 -4 ac) /4a et ce b^2-4ac c’est quelque chose qu’on connaît bien puisque c’est ∆.

Donc même si, on verra ça dans une vidéo suivante, mais ce qui nous intéresse ici c’était quelle est la valeur du minimum d’un polynôme de degré 2, eh bien c’est cette valeur là; C’est -(b^2-ac)/4a

Voilà comment on calcule la valeur du minimum ! On sait que le minimum est atteint en x =- b/2a. Donc on remplace x par – b/2a dans notre polynôme de degré 2, et on obtient la valeur qui nous intéresse.

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