Comment trouver une primitive d’une multiplication de la forme u’*cos(u) ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir comment tu peux trouver une primitive d’une multiplication de fonctions qui est sous la forme u’*cos(u). Donc la fonction qui nous intéresse c’est u'(x) que multiplie cos(u).

Passons par la dérivée…

Ici, ça, ça va être la dérivé en fait de la primitive qu’on cherche. Donc on cherche une primitive qui est donc une fonction qui quand on la dérive, elle va retomber sur ça.

Ici, on voit qu’il y a du cosinus qui apparaît et on sait que le cosinus il apparaît en dérivée quand on est au départ avec un sinus. Ce qu’on sait c’est que la dérivé de sin(x) c’est cos(x).

Si tu te rappelle pas de ça, regarde dans les vidéos de la playlist sur les dérivées, tu vas retrouver. Ici, comment on fait ça ? On a sinus qui est ici, on dérive vers la droite, donc on arrive à cosinus.

…et la dérivée d’une fonction composée.

La deuxième chose qu’on sait c’est la dérivé d’une fonction composé. Donc la dérivé de f(u(x)) c’est u'(x)*f'(u(x)). Ça c’est vraiment important, relis l’article sur le blog si jamais tu l’as pas lu, ou je te dis qu’à partir de cette formule là, tu peux tout retrouver quasiment, donc c’est u'(x)*f'(u(x)) d’accord ! Donc on multiplie par u’ et en garde la dérivé ici.

Quand tu mixes ces deux choses là, tu vois que si tu fais la dérivée cette fois-ci de sin(u(x)), ça va donner quoi ? Ça va donner u'(x) que multiplie, donc la dérivé ici on avait pris f = sin, donc la dérivé de sinus, on a dit c’est cosinus pris en u(x). Donc tu vois qu’ici on arrive bien à u’ cos(u) qui est exactement ce que j’avais écrit ici.

D’où une primitive de la multiplication u’*cos(u)

Alors là, pas très précisément parce que normalement ce qu’il aurait fallu écrire ici c’est cos(u(x)) puisque j’avais mis déjà u'(x), et donc on arrive bien à ça.

Qu’est ce que ça nous dit ? Simplement que si on nomme ça g(x), eh bien on a une primitive G(x) qui est égale à sin(u(x)).

Une application ?

Maintenant dans les faits, si on a un exo, parce que la chose compliquée dans un exercice c’est de reconnaître cette chose-là. Donc là, eh bien par exemple, si on a la fonction h(x) qui est égal à (1/ 2√ x) cos(√ x).

Tu vois que là c’est déjà un peu moins clair alors ce que tu reconnais ici, si tu reconnais qu’il y a une cosinus, tu reconnais qu’il y a une formule ici, une fonction c’est pas cos(x), c’est bien cos(u(x)), donc ça c’est u(x) = √x, et ça tu connais sa dérivée.

La première chose que doit faire c’est regarder sa dérivée. C’est 1/2√ x. Là encore, je t’invite à regarder les vidéos si t’es pas à l’aise avec ça. Tout ça c’est dans la playlist des dérivés.

Donc 1 / 2√x, bon bah ça tombe bien c’est ce qu’on a devant. Alors parfois on ne va pas avoir exactement ça, par exemple ici j’aurais pu prendre 1/√ x, voilà. J’ai oublié le deux ici, donc tu vois qu’on n’a pas tout à fait u’ cos(u).

Dans ces cas là, on regarde ce qu’on a, qu’est ce qu’on a par rapport à u’. Alors on va avoir u'(x) cos(u(x)), donc si on avait u’ cos, on aurait un 2 qui serait en bas. Ici donc, on a 2 u’ cos(u), ok, pas de problème.

On en déduit une primitive, on a dit la primitive de u’ cos(u) c’est sin(u), et puisqu’on a un 2 qui est devant, deux fois quelque chose, c’est un réel fois une fonction, sa primitive ou une de ses primitives, va toujours être de la forme : deux fois la primitive de ce qui est ici.

Ici, on va avoir deux fois la primitive de ce qui est ici, qui est donc sin(u(x)). Alors sin(u(x)) qu’est ce que c’est ? C’est sin(√ x) ici. Donc une primitive de (1 / √ x) cos(√ x) c’est 2 sin(√ x).

Voilà comment tu peux trouver une primitive d’une multiplication de fonction qui est sous la forme u’*cos(u).

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