Comment trouver une primitive d’une multiplication de fonctions de la forme u’*u^n ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir comment trouver une primitive d’une multiplication de fonction qui est sous la forme u’*u^n.

Réfléchir à l’envers : la clé !

Ce qui va nous intéresser c’est de trouver une primitive de quelque chose qui est de la forme u'(x)*u(x)^n.

Alors ici, comme avec les primitives, toujours essayer de réfléchir à l’envers, le U’, tu sais que quand on dérive une fonction composée, il y a toujours un U’ qui apparaît.

Si je dérive f(u(x)), si je dérive ça eh bien je vais obtenir u'(x) * f'(u(x)). Donc si on essaye de voir un petit peu cette chose là, en fait ce qu’il faut voir ici c’est que le u’, il sort simplement de la dérivée.

Donc il faut reconnaître quel type de fonction on a derrière ce u^n. Or u^n ici, ça va correspondre au f'(u).

Donc si f'(u(x)) est égal u(x)^n, c’est comme si on avait f'(x) = x^n. Et ça, on sait faire la primitive. La primitive de x^n, on la connait c’est x^(n+1) / n+1 parce que quand on va dériver ça, l’exposant descend, on enlève 1 à l’exposant donc on a bien x^n et on a n+1 / n+1, ça retombe bien sur x^n.

Ici, on a reconnu la fonction c’est toujours comme ça qu’il faut fonctionner avec les primitives, il faut reconnaître la fonction qui est utilisé. Autrement dit, on a u’*u^n, le u^n eh bien ça correspond au f’.

Il faut reconnaître la fonction f là dedans, la fonction f eh bien, elle dépend simplement de ce que tu as, de la forme qui est ici, donc ici f'(x) eh bien c’est x^n, donc f'(u(x)) c’est bien u(x)^n. Une primitive ici de x^n, on la connait c’est x^(n+1) / n+1.

D’où une primitive de de la multiplication u’*u^n !

Et donc qu’est ce que ça nous dit ? Ça nous dit qu’une primitive de cette fonction là, alors je vais peut-être pas l’appeler f, ça va être un peu compliqué, mais si g(x), notre fonction g(x), elle est de cette forme là, alors une primitive de cette fonction là, G(x), eh bien ça va être (u(x))^(n+1) / n+1.

Tu vois qu’ici je reprends la fonction f que j’avais ici puisqu’on a identifié avec cette partie là, donc une primitive ça va être f(U). Donc f(x) eh bien c’est x^(n+1) / (n+1), donc f(U) c’est U^(n+1) / (n+1). Donc ça c’est une primitive.

Un exemple pour bien comprendre.

Si on le fait avec un exemple pour bien comprendre. Typiquement, tu vas te retrouver avec, eh bien je sais pas, par exemple 2x * (x^2+2)^3. On peut dire ça comme ça simplement.

Et ça c’est ta fonction g(x) et tu veux trouver une primitive de cette fonction. Donc là, ce qu’il faut faire eh bien c’est identifier cette fonction avec la forme U’ * U^n. Alors comment on fait ça ?

Eh bien on regarde ce qu’on a dans la fonction.Ici on a 2x, ici on a (x^2+2)^3. On voit déjà qu’on a des parenthèses ici qui en gros, on te donnait une fonction à l’intérieur.

Cette fonction, elle est à l exposant 3, et devant on a un autre morceau. Alors ici, le morceau c’est directement tu vois que si ça c’est u(x), eh bien ça c’est u'(x).

Alors parfois c’est à un facteur près, c’est pas toujours exactement, ça pourrait être juste x et on arriverait quand même à le faire juste en multipliant par 1/2.

Tu vois qu’on a bien quelque chose qui est de la forme u’*u^3. Donc ça, on fait la primitive d’après ce que j’ai écrit, une primitive c’est G(x) égal x^2 + 2 puisque que ça c’est bien u(x), exposant 4, divisé par 4.

Si j’ai bien ça, quand on va dériver, ça va nous donner (4 * (x^2 + 2)^3) / 4, donc les quatre se simplifient, multiplié par u’ parce qu’il ne faut pas oublier quand tu dérives une fonction composée, on multiplie par la dérivée de ce qui est dans la fonction. Puis multiplier par la dérivée de x^2+2 qui est 2x.

Voilà comment tu peux trouver une primitive d’une multiplication de fonction qui est sous la forme u’*u^n.

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