Comment calculer l’argument arg(z) d’un nombre complexe z ?

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Retranscription

​Dans cette vidéo on va voir comment calculer l’argument d’un nombre complexe. Si tu ne sais pas ce que c’est l’argument d’un nombre complexe, je t’invite à regarder la vidéo précédente dans laquelle je t’explique ce qu’est l’argument.

Ici on va reprendre un nombre complexe, toujours pareil, z = x+iy. Pas besoin d’être original ici, x et y, d’accord ? Ça pourrait être a et b, ça pourrait être p et q, on s’en moque ! C’est juste deux lettres qui représentent deux réels.

Petit rappel graphique :

Et on a dit l’argument de ce nombre complexe, c’est l’angle qui est formé entre la demie droite OM et la partie positive de l’axe des abscisses. Donc ici on a O, ici on a M, et ici on a la partie positive de l’axe des abscisses, et aussi on a arg(Z), d’accord ?

Calculer l’argument du nombre complexe z grâce à la trigo !

Et M ici c’était le nombre complexe d’affixe Z, ou bien de coordonnées (x,y), c’est la même chose. Donc là, quand on veut calculer cet angle, eh bien on va utiliser la trigo en fait !

Puisque c’est un angle on fait comme toujours, on utilise de la trigo. Alors pour utiliser la trigo, on part d’ici et on sait deux choses. Premièrement, on a un triangle rectangle ici que je viens de dessiner qui est rectangle ici, d’accord ?

Et qu’est ce qu’on sait ? On sait que cette partie là eh bien c’est la partie réelle de z, donc c’est x en fait. Donc je vais mettre Re(z)=x. Puis cette longueur ici c’est partie imaginaire de Z, d’accord ? Donc ici c’est partie imaginaire de Z, donc c’est y.

Donc là, on a deux longueurs et la troisième c’est la longueur OM, et OM on a dit que c’était simplement le module de Z.

Calcul de l’argument

Maintenant, on a cet angle ici, alors je vais l’appeler téta pour nous simplifier la vie, mais c’est l’argument de z, arg(z).

Maintenant on a les trois longueurs du triangle rectangle, donc on peut faire tout ce qu’on veut ! Je t’invite à regarder les vidéos sur la trigonométrie si tu n’es pas à l’aise avec ça.

On peut faire cos(θ), SOHCAHTOA, donc c’est adjacent sur hypoténuse. Et l’adjacent ici c’est la partie réelle, donc c’est x. Puis l’hypoténuse c’est module de z. Même idée pour calculer le sinus.

Donc là, quand tu es dans un exercice, et que tu as des valeurs pour x et y, tu peux calculer le module, tu peux calculer donc le cosinus et le sinus de ton angle.

Eh bien de là, tu vas en déduire θ puisque à un couple (cosinus, sinus) donné il n’y a qu’un seul angle qui correspond !

Un exemple

Si je prends par exemple Z = 1 + i √ 3. De ça, je peux déduire module de z, module de z c’est 1^2 + √ 3^2. Donc c’est √ (1+3), et ça, ça fait 2.

Maintenant, je peux en déduire cos(θ), c’est x/2, donc ici sur module de z. Donc x/|z|, ça, ça fait 1/2. Et sin(θ) c’est √3, donc y divisé par le module de z donc 2.

Donc, j’ai cos(θ)=1/2, sin(θ) = √3/2, eh bien j’en déduis que θ vaut quoi ? Eh bien θ vaut π/3, d’accord ? Donc ça, si t’es pas à l’aise avec les angles usuels !

Encore une fois, il y a une vidéo dans la playlist trigonométrique qui va t’expliquer comment retrouver ces choses-là.

Ce que je te montre ici c’est que pour une valeur donnée, il suffit de calculer le module de z, et ensuite de calculer x/|z|, y/|z|. Ça te donne le cosinus et le sinus, et tu peux en déduire ton angle. Et ton angle ici, l’angle que j’ai appelé téta ici c’est l’argument de ce nombre complexe.

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