Dans cette vidéo je t'explique comment calculer l'argument arg(z) d'un nombre complexe z.

Transcription de la vidéo

​Dans cette vidéo on va voir comment calculer l'argument d'un nombre complexe. Donc si tu sais pas ce que c'est l'argument d'un nombre complexe, je t'invite à regarder la vidéo
précédente dans laquelle je t'explique ce qu'est l'argument. Donc ici on va reprendre un nombre complexe, toujours pareil, Z= x+iy. Pas besoin d'être original ici, x et y, d'accord ? ça pourrait être a et b, ça pourrait être p et q, ça pourrait être r et s, on s'en moque, c'est juste deux lettres qui représentent deux réelles.

Et on a dit l'argument, je vais le retracer rapidement ici. On a dit l'argument de ce nombre complexe, eh bien c'est l'angle qui est formée entre la demie droite OM et la partie positive de l'axe des abscisses, d'accord ? Donc ici on a O, ici on a M, et ici on a la demie droite positive, enfin la partie positive de l'axe des abscisses, et aussi on a arg(Z), d'accord ? Et M ici c'était le nombre complexe d'affixe Z ou bien de coordonnées (x,y), c'est la même chose ici.

Donc là, quand on veut calculer cet angle, eh bien on va utiliser la trigo en fait
simplement, puisque c'est un angle on fait comme toujours, on utilise de la trigo. Alors pour utiliser la trigo eh bien on part d'ici et on sait deux choses : on a un triangle rectangle ici que je viens de dessiner qui est rectangle ici, d'accord ? Et qu'est ce qu'on sait ? On sait que cette partie là eh bien c'est la partie réelle de z, donc c'est x en fait. Donc je vais mettre Re(Z)=x, et cette longueur ici c'est parti imaginaire de Z, d'accord ?

Donc ici c'est partie imaginaire de Z, donc c'est y. Donc là, on a deux longueurs et
la troisième c'est la longueur OM, et OM on a dit que c'était simplement le module de Z. Maintenant, on a cet angle ici, alors je vais l'appeler téta pour nous simplifier la vie,
mais c'est l'argument de Z.

Eh bien maintenant on a les trois longueurs du triangle rectangle, donc on peut faire tout ce qu'on veut, je t'invite à regarder les vidéos sur la trigonométrie si tu n'est pas à l'aise avec ça. cos(θ), SOHCAHTOA, donc c'est adjacent sur hypoténuse, l'adjacent ici c'est la partie réelle, donc c'est x, et l'hypoténuse c'est module de Z. sin(θ)=y sur, donc même chose, OM, donc l'hypoténuse, donc le module 2 Z. Donc là, quand tu es dans un exercice, et que tu as des valeurs pour x et y, tu peux calculer le module, tu peux
calculer donc le cosinus et le sinus de ton angle.

Eh bien de là, tu vas en déduire θ puisque à un couple (cosinus, sinus) donné il n'y a qu'un seul angle qui correspond. Donc là, si je prends par exemple Z = 1 + i √ 3, de ça, je peux déduire module de Z, module de z c'est 1^2 + √ 3^2. Donc c'est √ (1+3), et ça, ça fait 2. Maintenant, je peux en déduire cos(θ), cos(θ) c'est x/2, donc ici sur module de Z. Donc x/|Z|, ça, ça fait 1/2. Et sin(θ) c'est √3, donc y divisé par le module de Z, donc 2.

Maintenant, j'ai cos(θ)=1/2, sin(θ) = √3/2, eh bien j'en déduis que θ vaut quoi ? Eh bien θ vaut π/3, d'accord ? Donc ça, si t'es pas à l'aise avec les angles usuels, encore une fois, il y a une vidéo dans la playliste trigonométrique qui va t'expliquer comment retrouver ces choses là. Ce que je te montre ici c'est que pour une valeur donnée, il suffit de calculer le module de Z, et ensuite de calculer x/|Z|, y/|Z|, ça te donne le cosinus et le sinus, et tu peux en déduire ton angle. Et ton angle ici, l'angle que j'ai appelé téta ici c'est l'argument de ce nombre complexe.

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