Comment comprendre les équations de droite en 2D ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, je vais te montrer comment comprendre les équations de droite en 2D.

Alors en 2D, l’équation d’une droite c’est toujours donné sous la forme ax +by + c = 0. Comment est ce qu’on arrive à ça ? C’est ça qui est intéressant ici. C

Comprendre les équations de droite en 2D.

Regardons une droite et on va s’intéresser à un petit vecteur intéressant qui est le vecteur… vecteur normal ! Donc on prend un vecteur normal.

Qu’est ce que c’est un vecteur normal ?

C’est un vecteur qui est perpendiculaire à cette droite. Donc ici je vais essayer de faire quelque chose de bien perpendiculaire. On va prendre le vecteur petit n, c’est un vecteur normal à la droite(D). Donc ici, appelons la droite (D).

Qu’est ce que c’est une droite ?

C’est un ensemble de points ! Mais comment tu peux définir ces points ?Prenons un point ici qu’on va appeler M, et donc ses coordonnées ça va être (x, y).

Ici on va appeler ce point-là grand A par exemple et on va lui donner comme correspondant (xA, yA). On sait que la droite passe par le point A et elle est tout le temps perpendiculaire au vecteur n.

Comment peut-on définir cet ensemble de points ?

Eh bien on va simplement dire que le vecteur AM et le vecteur n sont orthogonaux, d’accord ? Donc ça, ça définit ta droite complètement. Tu vois que le point A, il est fixé ici, n il est fixé, il y a que le point M, ça c’est (x,y).

Et M c’est le point qui correspond à tous les points de la droite en fait ! C’est juste une façon de le noter, M ça peut être n’importe quel point de la droite.

Autrement dit, n’importe quel point de la droite va vérifier que AM, le vecteur qui est ici, est perpendiculaire au vecteur n ! Et avec ça tu défini ta droite.

Comment est-ce qu’on traduit ça en équation ?

On a dit AM perpendiculaire à n, mais ça on sait que c’est que le produit scalaires de AM et de n vaut 0. Alors si les coordonnées de n c’est (a,b). Puis donc là, si on fait le produit scalaire, qu’est ce que c’est le vecteur AM ? Ses coordonnées c’est (x-xA y-yA).

Maintenant quand on fait ce produit scalaire, ça donne quoi ? Ça donne (x-xA)*a +(y-yA)*b. D’accord ? Et c’est toujours égale à 0. Donc ça, ça équivaut à (x-xA)*a + (y-yA)*b = 0.

Là on développe, ça va faire a * x + b * y, et puis qu’est ce qu’il va nous rester ? Il va nous rester : moins ou alors je peux mettre plus si on veut et puis on va avoir – xA * a – yA * b égal 0.

Ben tu vois que maintenant si j’appelle ce qu’il ya dans la parenthèse ici, petit c, j’ai bien a x +b y + c = 0 ! C’est de là que sort l’équation d’une droite en 2D.

Les choses que tu dois retenir ici :

Il n’y en a pas cinquante ! C’est simplement qu’une droite est définie par un point et un vecteur normal. Alors évidemment tu ne vas pas faire ça à chaque fois mais il faut retenir pourquoi c’est vrai cette chose là.

Et donc pourquoi quand t’as quelque chose qui est sous cette forme-là ! Ça implique directement, que quand tu as une équation de cette forme là, le vecteur normal à la droite c’est bien (a b).

Voilà comment tu peux comprendre d’où sortent les équations de droite en 2D.

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