Comment rédiger la réciproque du théorème de Thalès ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, je vais te montrer comment rédiger la réciproque du théorème de Thalès. Déjà, la réciproque du théorème de Thalès ça sert à montrer que deux droites sont parallèles !

Les 2 situations possibles

Et là encore on peut avoir les deux cas : on peut voir le cas du triangle, je vais volontairement des droites qui ne sont pas parallèles. Et puis le cas papillon, là aussi ben je vais faire des… parce que le dessin il ne dit rien, ça dépend des valeurs qu’on a derrière.

Ici si on a le point A, on a dit le premier A c’est lui. On va avoir B, C. Donc on va garder B et C. Et puis on va avoir ici D et E. Donc A, B, D et A, C, E sont alignés.

L’intérêt ?

La réciproque du théorème de Thalès ça va nous permettre de dire si BC et DE sont parallèles. (BC) // (DE) ? Alors est-ce qu’elles sont parallèles ? Eh bien c’est à ça que va nous servir la réciproque du théorème de Thalès.

Les hypothèses à reprendre pour rédiger la réciproque du théorème de Thalès.

Première hypothèse importante : les points. Donc là on reprend exactement les arguments qu’on utilisait pour le théorème de Thales. On a besoin de dire que les points A, B et D sont alignés. Et pareil, les points A, C et E cette fois ci sont alignés.

Là, on a l’alignement des points donc ça c’est ce qu’on voulait déjà dans le théorème de Thalès. Et maintenant cette fois-ci ce qu’on va faire c’est qu’on va regarder les relations et on va déduire suivant si oui ou non c’est égaux. Donc là, on va rajouter : Or…

Et je vais faire les deux cas en séparé. On va faire le cas par exemple AD/AB = AE/AC, donc ça c’est le cas où il y a bien égalité. Et puis, je vais faire le cas où il n’y a pas égalité donc AD/AB ≠ AE/AC.

Le cas où les ratios sont égaux…

Dans le cas où il y a égalité de toute façon ça changera rien, donc on a ça. « D’après la réciproque du théorème de Thalès… ». Dans le cas où la relation est juste la relation est vérifiée, on sait que BC, la droite BC va être parallèle avec la droite DE.

Le cas où ils ne le sont pas…

Et dans le cas où les relations ne sont pas vérifiées la réciproque du théorème de Thalès va nous permettre de dire qu’il n’y a pas de parallélisme entre BC et DE. Donc les droites BC et DE ne sont pas parallèles, d’accord ?

En résumé

Donc là, la réciproque, elle te sert à dire deux choses : c’est soit la relation est vérifiée et donc les droites sont parallèles. Soit la relation n’est pas vérifiée et dans ce cas là, les droites ne sont pas parallèles.

Mais tu vois que la rédaction c’est la même ! On a besoin de dire que les points sont alignés, de regarder ce que vaut la relation. Puis de dire que « d’après la réciproque du théorème de Thalès », soit il y a parallélisme, soit non.

Chose importante ici, j’ai utilisé les relations AD/AB et AE/AC, j’aurais pu aussi utiliser DE/BC. Il suffit de montrer que l’égalité entre deux des ratios.

Donc on a soit le ratio AD/AB, soit le ratio AE/AC, soit le ratio DE/DB. Mais ici, j’aurais pu montrer que c’est différent ou égal à DE/BC, et j’aurais pu en conclure exactement les mêmes choses, d’accord?

Au final, chose importante : les points alignés, on regarde si les ratios sont égaux ou non égaux. Et on en déduit d’après la réciproque du théorème de Thalès qu’on a parallélisme ou non parallélisme entre BC et DE.

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