Comment retrouver la formule pour le ln d’une puissance, ln(x^y) ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, je vais te montrer comment retrouver la formule pour le ln d’une puissance de x. Déjà la formule est donné par ln(x^n) = n ln(x).

Alors pour celle-là, on va utiliser la formule qu’on a vu dans la vidéo précédente qui est donc que ln(x) + ln(y) = ln (xy).

Du ln du carré, à celui d’une puissance quelconque

Si tu sais ça, qu’est ce qu’on peut en déduire ? On peut en déduire que ln(x) + ln(x) = ln(x*x) = ln(x^2) et qu’ensuite bah si tu vois… Là tu vois déjà que si tu as ln(x) + l(x), t’as ln(x^2), donc ça c’est naturel.

Maintenant si tu veux avoir 3ln(x), donc là on avait deux ln(x), donc ça ça dit quoi ? On va juste écrire ça, ça c’est 2ln(x) = ln(x^2), tu vois déjà qu’on a la même forme ici. Puisqu’on a bien ln(x^2) qui est devenu 2ln(x).

Si t’en veux trois, 3ln(x) c’est donc on peut soit l’écrire aussi 2ln(x) on a dit c’est ln(x^2) plus ln(x). Et maintenant on réutilise la formule qu’on avait au départ, ln(x)+ ln(x^2) ça fait ln(x*x^2) donc ça fait bien ln(x^3), ça c’est simplement pour t’en rappeler.

La démonstration tu vas la faire en cours mais tu vois que même ici ça suffit en fait. C’est simplement récupérer cette formule là et de voir que si t’as ln(x) + ln(x), t’as bien ln(x^2).

A partir de là tu peux généraliser cette formule là et bien ça devient rapidement n ln(x) = ln(x^n) et inversement ln(x^n) = n ln(x).

Si jamais ça ne suffit pas de le voir avec deux, tu fais avec trois, tu découpes ton 3 en 2ln(x) que tu as déjà calculé ici plus ln(x). Et tu réutilises encore une fois la formule de la somme de deux logarithmes différents.

Voilà comment tu peux te rappeler de la formule pour le logarithme d’une puissance de x, soit x^n.

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