Comment trouver une primitive de racine de x (ou √x) ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, je vais te montrer comment retrouver une primitive de racine de x, √x. Donc ici ce qui nous intéresse c’est f(x)=√x et de retrouver une primitive. Autrement dit pour trouver un F(x) qui dérivé va donner √x.

La racine comme exposant fractionnaire… !

Alors ici comme toujours avec la racine tu sais ce que j’aime bien faire. Si tu as vu les vidéos sur les dérivées, c’est mettre ça x^(1/2). Si tu te rappelles de ça tu peux tout faire comme ça.

Alors ce qu’on va vouloir c’est quand on va dériver, tomber sur x^( 1/2). C’est pas tout à fait simple à faire. Donc si on dérive x^(1/2), on sait donc c’est la dérivée de la racine ici on sait qu’on va tomber sur 1/2 x^(-1/2).

Ça c’est embêtant parce que ça c’est 1/√x et donc c’est pas √x par contre qu’est ce qu’on voit ? On voit que pour arriver de x^(-1/2) à x^(1/2), il faut rajouter 1. Donc on va rajouter 1 à l’exposant ici.

En faisant ça, 1/2 + 1 ça fait 3/2. x^3/2 ça nous donne quoi ? La dérivée ça donne 3/2 x^(3/2 -1), donc 1/2. Et ça tombe bien c’est ce qui nous intéressait !

Plus qu’un facteur pour avoir la primitive de racine de x !

Donc on a bien 3/2*√x. Maintenant il y a juste ce facteur là qui vient nous embêter. Mais ce facteur là il dépend pas de x donc il suffit de multiplier par l’ inverse.

Autrement dit si on multiplie par l’inverse, l’inverse de 3/2 c’est 2/3. Et qu’on multiplie donc x^3/2 et qu’on dérive tout ça, on devrait retomber, c’est qui nous intéresse.

Si on dérive ça fait 2/3 que multiplie… on dérive ça 3/2 x^1/2, donc 3/2 -1. 2/3 * 3/2 ça fait bien ça, et donc ici on obtient bien √x. Autrement dit la dérivée de 2/3 x^(3/2) c’est √x. Ça nous dit donc que F(x) = 2/3 x^(3/2) est une primitive racine de x.

Constante et facteurs…

Puis comme toujours avec les primitives ici c’est UNE primitive puisqu’on pourrait rajouter une constante ici. Ça changerait absolument rien parce que quand on dérive une constante, on retombe sur 0. Donc ça serait l’ensemble des primitives si on avait cette constante en plus.

Maintenant même chose si on veut avoir 2√x à la place de racine de x, il suffit de multiplier par 2 le terme de départ. Donc ici on aurait 4.

Voilà, comme toujours quand on travaille avec la racine, dérivées ou primitives, le plus simple c’est de passer par √x = x^(1/2).

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