Comment trouver le maximum d’un trinôme du second degré ?

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Retranscription

Dans cette vidéo on va voir comment trouver le maximum d’un trinôme du
second degré. Donc un trinôme du second degré c’est une fonction qui s’écrit ax^2 + bx + c. Et ce qu on cherche nous c’est la valeur
maximale de ce polynôme.

Bon, déjà si c’est un maximum ça veut dire que le polynôme il a cette tête là, la parabole qui représente le polynôme de degré 2, elle a cette tête là, et donc a est négatif ici. Donc ça c’est obligatoire si on veut avoir un maximum sinon on aura un minimum.

Rappel sur l’abscisse du maximum.

Et qu’est ce qu’on sait d’après une des vidéos précédentes ? On sait que le maximum est atteint pour x égal – b/2a. Eh bien si on sait que le minimum il est atteint ici, il suffit de calculer f(-b/2a) pour obtenir ce qui nous intéresse.

Calcul du maximum d’un trinôme du second degré.

Donc si on fait ce calcul, f(-b/2a) = a(-b/2a)^2 +b (-b/2a) + c, ok ? Le carré de cette chose-là c’est (b^2/4a^2). Donc ici on a a*(b^2/4a^2) plus, alors ici non pas +b mais -b^2/2a +c.

On met tout au même dénominateur, on peut simplifier un peu ici. Donc ici on a b^2/4a, donc si on met au même dénominateur, ça fait -2b^2/4a +4ac/4a . Et donc on obtient (-b^2+4ac)/4a.

Ce qui peut aussi s’écrire – (b^2-4ac)/4a qu’on connaît bien puisque ça c’est ∆, d’accord?

Bon ici ce qui nous intéresse c’est le maximum. Et la valeur maximale du trinôme de second degré eh bien c’est -(b^2-4ac)/4a. Donc ça c’est la
valeur du maximum.

Toutes les valeurs de f(x) vont être plus petit que cette valeur ici. On va voir dans la prochaine vidéo quel est le lien avec delta ! Et pourquoi ça nous permet de dire combien on a de solution à l’équation ax^2 + bx + c = 0.

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